?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry Share Next Entry
Задача с вступительных испытаний в МГУ
Для журнала Нескучный сад
ver1958
В этом году на ДВИ по математике в МГУ была такая задача (привожу условие дословно)

Ровно в 9:00 из пункта А в пункт Б выехал автомобиль. Проехав две трети пути, наблюдательный водитель автомобиля заметил,что мимо него в пункт А проехал некий велосипедист. В тот самый момент, когда автомобиль прибыл в пункт Б, из пункта Б в пункт А выехал автобус. Когда до пункта А оставалось две пятых пути, не менее наблюдательный водитель автобуса заметил, что он поравнялся с тем самым велосипедистом. Во сколько приедет велосипедист в пункт А, если известно, что автобус прибыл в пункт А ровно в 11:00? Скорости велосипедиста, автомобиля и автобуса считать постоянными.

Эта задача замечательна по двум причинам:

1) её можно решить в две строчки, не составляя уравнений, с помощью теоремы Чевы ( а можно и с помощью уравнений). При этом условия задачи не позволяют найти отношения скоростей.

2) из-за "оживляжа" условие задачи стало некорректным при его естественном (а не строго математическом) понимании: в самом деле, сколь ни наблюдательным был водитель автобуса, он не мог заметить, что поравнялся с тем самым велосипедистом, которого встретил водитель автомобиля!

  • 1

ну всё-таки

на вступительных экзаменах не стоило бы проверять знакомство с теоремой Чевы, которой нет в школьной программе...

А знаешь ли ты задачу из Литлвуда: в тумане по льду идут четыре путешественника с различными скоростями (каждый сохраняет скорость и направление). Известно, что все пары, кроме, быть может, одной - встречались, доказать, что и эта последняя пара тоже встречалась...

Re: ну всё-таки

А можно вас попросить сформулировать задачу точнее, не очень понятно, что значит "уже встречались"?

Re: ну всё-таки

два путешественника встретились, если они прошли через некоторую точку в одно время

Re: ну всё-таки

У меня не получается сформулировать ее на языке траекторий так, чтобы она получилась осмысленной.

Если так: "есть 4 прямых, известно, что на некотором интервале иксов все, кроме, быть может, одной, пересекались", то это неправда (можно рассмотреть любой интервал, который включает в себя все точки кроме одной крайней).

Если речь идет не о конкретном интервале, а о всей оси абсцисс, то просто любые две прямые с разным углом наклона пересекутся, так что вторая часть условия лишняя.

Не могли бы вы помочь найти правильную формулировку?

Re: ну всё-таки

Наверно, я что-то не так сказал. Ещё раз. Есть плоскость. По ней движутся равномерно с постоянными и различными по величине (и, возможно, направлению) скоростями четыре точки. Пару точек назовём пересекающейся, если в какой-то момент времени они были в одном месте ( то есть не только траектории пересеклись, но и точки встретились). Про все пары, кроме одной, известно, что они пересекающиеся. Доказать, что и эта одна тоже пересекающаясяю

Re: ну всё-таки

А-аа, понятно, я не сразу понял, что они движутся по плоскости, а не по прямой. Тогда все ясно. Спасибо.

Edited at 2016-07-18 11:54 am (UTC)

Ага, знаю, но на мысль о теореме Чевы меня натолкнула пара решений школьников, которые в сущности её передоказывали в своих работах ( без упоминания формулировки)

это поучительная задача для разбора на уроке или на лекции (аналогичную задачу, только про медианы, мы давали на заочном конкурсе), но как вступительная, мне кажется, это не очень удачно...

По-моему, она очень простая -- в геометрическом решении нужно провести одну прямую и получить две пары подобных треугольников, теорема Чевы, кажется, overkill. Алгебраически она тоже решается в два хода, даже непонятно, что там может пойти не так.

Но надо же ещё догадаться перевести задачу на геометрический язык!

RE: в общем,

Обычная текстовая задача слегка повышенной сложности (с графиками крвсиво, но совершенно не обязательно). В сборнике Шарыгина были куда похлеще.

А ты можешь без геометрии обьяснить, почему ответ в задаче единственный (для любых исходных чисел)?

Ну там же алгебраически все получается:
http://falcao.livejournal.com/313044.html?thread=12658132#t12658132

другое дело, что непонятно, почему

А чтоб без графиков стало понятно, почему, надо еще эти 1/3 и 2/5 обозначить буквами.

ну я обозначил же по ссылке, но все равно непонятно, почему там коэффициенты сходятся.

Тут мы рискуем сорваться в обсуждение того, что такое "понятно". Я бы сказал, что это видно с первого взгляда на систему уравнений (которая на u, v и w). Но, конечно, у разных людей "математическое зрение" устроено по-разному.

Ну и я, чуть другими словами.

Пусть u - время, за которое автомобиль едет АБ, v - время, за которое автобус едет АБ, w - аналогично для велосипедиста. Дано:

u+v=2
(u/3)+(3v/5)=4w/15.

Найти: (2u/3)+(2w/3) (и прибавить потом к 9 часам).

Из первого уравнения выражаем v, подставляем во второе. Чудесным образом коэффициенты при u и w оказываются равными, и вуаля.

Вот именно, что "чудесным образом"! А в решении http://falcao.livejournal.com/313044.html?thread=12658132#t12658132
объясняется, что на самом деле чуда нет и так будет при любых исходных данных. Но в нем много формул, а геометрическое решение объясняет то же самое, но безо всяких формул!

мобильные телефоны
наблюдательные водителы - агенты ФСБ
велосипедиста пасут

Во-первых, не Чевы, а скорей Менелая, во-вторых, это абсолютно стандартный сюжет из экзаменационной планиметрии, решается, как выше уже отметили, без ссылок на недоказанные теоремы

да, Менелая (согласно Википедии).

  • 1