?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry Share Next Entry
Теорема Геделя о неполноте и свобода воли
Для журнала Нескучный сад
ver1958
Совершенно случайно наткнулся на публичную лекцию А.Б.Сосинского на Полит.ру под названием "Теорема Геделя о неполноте". http://www.polit.ru/article/2012/11/24/anons_sossinsky/

Во введении он упомянул теорему "французского математика русского происхождения" по имени Iegor Reznikoff, "который доказал, что принцип свободы воли Конвея-Кочена вытекает из теоремы Гёделя".
Принцип свободы воли Конвея-Кочена, по Сосинскому, "грубо говоря, утверждает, что если экспериментатор обладает свободой воли, то и частица, которую он наблюдает, тоже обладает свободой воли".

Взглянув на заметку Резникова, выложенную в АрХиве (http://arxiv.org/abs/1008.3661) каждый может убедиться в двух вещах:

- о теореме Геделя о неполноте (ни о первой, ни о второй) в заметке нет ни слова,
- в статье вообще ничего не доказывается, и даже аккуратно не формулируется (в принятом у математиков смысле).

А заглянув на страничку http://dep-philo.u-paris10.fr/departement-de-philosophie/les-enseignants/reznikoff-iegor-66768.kjsp можно обнаружить, что Iegor Reznikoff является профессором департамента философии университета Paris Ouest и вряд ли может быть назван математиком вообще.

В основной части лекции Сосинский вполне правильно (но, конечно, неформально) изложил формулировку первой теоремы Геделя о неполноте и намекнул на три ее доказательства: геделевское (через неподвижную точку), алгоритмическое (которое он, вероятно вслед за Успенским) приписал Колмогорову и чейтиновское. Про вторую теорему Геделя о неполноте (более интересную и настолько же просто формулируемую) он почему-то не упомянул.

  • 1
Я, грешным делом, вообще не понимаю, как можно из математической теоремы вывести какое бы то ни было утверждение о человеческом поведении.

часть Природы

А здесь этого и нет. Дело в том, что наличие свободы воли у человека здесь принимается за "аксиому", которая так или иначе подтверждается на эмпирическом уровне. Логический аппарат, сам по себе весьма примитивный (формализм только "затемняет" суть), к теореме Гёделя вряд ли имеет отношение, то есть в посте на этот счёт всё сказано справедливо. Но, насколько я понимаю, обосновать там пытаются утверждение "условного" характера. А именно, если человек свободен в выборе поступков (как нам хочется верить), то этим же свойством обладает и нечто "неживое" типа квантовых частиц.

Для меня это утверждение почти самоочевидно, так как человек -- это часть Природы, а потому она по определению умеет "много гитик" :) Мы ведь сами состоим из каких-то частиц, и если бы их поведение могли полностью предсказывать, то это можно было бы перенести и на наше собственное поведение. Логика как таковая тут особой роли не играет. Это просто традиция такая (на мой взгляд, весьма дурная) -- пытаться увеличить "вес" или "убедительность" рассуждения, облекая его в формально-логическую форму.

На школе в Дубне в 2001 году Сосинский завлёк меня в матлогику курсом лекций "Невычислимость, неразрешимость, недоказуемость".

Это он правильно сделал :) В том далеком году еще не было заметки Резникова, да и А.Б. был моложе ... и ордена академических пальм еще не удостоился :)

два замечания

Я сейчас лекцию слушаю -- там Сосинский допустил явную ошибку в одном месте. После рассказа о том, что такое исчисление высказываний (это где-то между 40 и 45 минутами), он сказал, что это полная теория. Это равносильно тому, что всякая формула либо является тавтологией, либо её отрицание является тавтологией, что, конечно же, неверно. Понятно, что он подразумевал алгоритмическую разрешимость вопроса о том, будет ли заданная формула тавтологией, но попутно сформулировал ошибочное утверждение.

По поводу статьи Резникофф: там аргументация довольно простая, и логический формализм только затуманивает смысл. Конечно, никакая теорема Гёделя там не применяется. Максимум, что можно там усмотреть -- это своего рода применение эффекта наподобие "парадокса лжеца".

Re: два замечания

После рассказа о том, что такое исчисление высказываний (это где-то между 40 и 45 минутами), он сказал, что это полная теория.

Не думаю, что это ошибка. Теорема о полноте исчисления высказываний гласит, что все тавтологии в нём выводимы. Для ИВ полнота традиционно понимается именно в этом смысле (конечно, стоило сообщить об этом аудитории).

Вообще, полнота некоторого формального исчисления означает, что в нём можно вывести все утверждения, для вывода которых мы его составили. (А корректность означает, что ничего лишнего вывести нельзя.) Для теорий первого порядка, которые обычно призваны, чтобы аксиоматизировать некоторую алгебраическую структуру, полнота означает, что все истинные в этой структуре суждения выводимы (при наличии корректности это эквивалентно тому, что для любого суждения выводимо оно или его отрицание).

по Литлвуду

Я понимаю, о чём идёт речь. Но там в контексте исчисления высказываний явно было сказано о полноте в другом смысле. Вы можете проверить: между 41 и 42 минутой явно прозвучала фраза, что для любой формулы мы можем доказать либо её саму, либо её отрицание.

У меня нет никаких сомнений в том, что докладчик в курсе истинного положения дел, но высказана была всё-таки ошибочная вещь. Это можно отнести, наверное, к классическому случаю когда математик пишет А, говорит Б, подразумевает С, а должно быть Д :)

Я благодарен Алексею Брониславовичу. Не судите его строго. Чуствовалось, что ему нелегко физически. Лекция была великолепна. Я дилетант, не математик. И лекция читалась для любителей, не математиков. Лекция упорядочила некоторые мои знания (важную связь между системами S,P,N,ZF, упомянутыми в лекции ). Лимит времени - 1,5 часа - не позволил рассмотреть док.-во по Чейтелю и другие прелести, связанные с теоремой.

Поделитесь, пожалуйста, что же такое системы S и N ? (Про P я догадываюсь, что это арифметика Пеано, традиционно обозначаемая PA, в которой формулами языка первого порядка записаны свойства сложения и умножения, а также аксиомы индукции.)

В данном случае S,P,N,ZF - примеры формальных систем.
* Исчисление высказываний. *S*
* Исчисление предикатов. *P*
* Аксиоматика натуральных чисел Пеано. *N*
* Аксиоматика Цермело - Френкеля *ZF*
Каждая следующая система является расширением предыдущей. Этот факт для меня не был осознан.

Комментарий улетел в спам. Сорри (как и за некропостинг).

Была бы Вам очень признательна, если бы Вы помогли мне разобраться в одном вопросе, связанном с (первой) теоремой Геделя (но я не математик, а биолог).

О какой "истинности" высказывания идет речь, которая не может быть доказана в пределах содержащей его непротиворечивой системы? А то, что она именно идет, я убедилась, читая, например, Роджера Пенроуза. Я хочу сказать, разве у математика есть какой-нибудь другой способ выяснить истинность высказывания, кроме как показать, что оно выводится по принятым правилам из условно принятых за истину аксиом? Вот здесь я написала об этом более подробно.

Иногда приходится слышать эту теорему в несколько иной формулировке: "... существуют высказывания, истинность которых нельзя ни доказать, ни опровергнуть" - вот это мне понятно; но сам Гедель, насколько я поняла, говорил именно об "истинных" (по какому признаку?) высказываниях.

Основная аксиоматическая теория, используемая математиками, называется ZF (аксиоматическая теория множеств Цермело - Френкеля).
В теореме Геделя о неполноте формальной формальной арифметики речь идет о более слабой теории, которая называется "арифметика Пеано" и обозначается PA. Сама теорема звучит так: существует истинное суждение о натуральных числах, не доказуемое в PA. А его истинность математики установили, доказав его в ZF. Так что более корректная формулировка звучит так: существует доказуемое в ZF, но не доказуемое в PA суждение о натуральных числах.

Имеется вариант теоремы Геделя, не апеллирующий к ZF: если PA непротиворечива, то существует суждение, которое в PA нельзя ни доказать, ни опровергнуть (теорема Геделя о неполноте в форме Россера). В этой форме теорема доказуема внутри самой PA. (При этом следует заметить, что в ZF можно доказать непротиворечивость теории PA.)

В такой формулировке теорема Геделя верна и для ZF: если теория ZF непротиворечива, ту существует суждение, которое в ZF нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

Спасибо. Насколько я понимаю, теорема Геделя распространятеся также на любую альтернативную формальную систему, содержащую арифметику?

Мне показалось, что, возможно, идея об истинности недоказуемых высказываний (а Пенроуз точно ее исповедует; он называет противоположную идею "формализмом" и всячески порицает - я читаю "Новый ум императора") связана с его верой в независимый от нашего сознания платонический мир математических истин. А как по-Вашему, существует такой мир?

Насколько я понимаю, теорема Геделя распространятеся также на любую альтернативную формальную систему, содержащую арифметику?

Да. Точнее, важно не то, содержит ли система формальную арифметику, а то, что в ней можно осмысленным образом записывать утверждения о доказуемости (так, чтобы можно было доказать основные свойства доказуемости).


А как по-Вашему, существует такой мир?

Я думаю, что это бессмысленный вопрос.

Бессмыссленный - потому, что любой ответ на него тоже нельзя ни доказать, ни опровергнуть? Это я понимаю, но меня занимает, каким именно образом люди приходят к тому или иному ответу - если приходят. Пенроуз очень интересно об этом пишет: что к заключению о существовании платонического мира математических идей его привело обсуждение математических проблем с коллегами. Он обнаружил, что все они мыслят очень по-разному, но, тем, не менее, ухитряются как-то понимать друг друга. Он и решил, что это свидетельствует о существовании независимого от индивидуального сознания мира. Сам Гедель, насколько я могу судить, тоже верил в такой мир, и, опять же, насколько я могу судить, такое понимание свойственно многим математикам, склонным к философским размышлениям.

  • 1